📖 Канонические системы двух дифференциальных уравнений. Вопросы существования периодических решений и их устойчивости.

Уравнение Хилла хорошо известно в теории колебаний. Одной из важных и трудных задач при изучении уравнения Хилла является вопрос о его устойчивости, причем устойчивость, если она есть, является устойчивостью на всей числовой прямой, она называется устойчивостью по Дирихле. При изучении уравнения Хилла (как и вообще дифференциальных уравнений второго порядка) хорошо зарекомендовал себя прием, заключающийся в переходе от декартовых координат к полярным. В нашем случае уравнение для полярного угла – уравнение Прюфера - не содержит полярного радиуса. Оказалось, что уравнение Прюфера можно трактовать как дифференциальное уравнения на торе. В этой работе для изучения уравнения Хилла и линейных канонических систем с периодическими коэффициентами привлечена теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе. Для нелинейного уравнения Хилла указаны различные условия существования и единственности периодических решений, а также признаки их устойчивости и неустойчивости. Для нелинейных канонических систем приведены эффективные признаки существования и единственности периодических решений, а также обсуждается их устойчивость и неустойчивость.